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<!DOCTYPE html>

<title>Partie constructible</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Partie constructible</span></h1>

</header>

</div>

<p>En <a href="G%C3%A9om%C3%A9trie_alg%C3%A9brique" title="Géométrie algébrique">géométrie algébrique</a>, la notion de <b>partie constructible </b>généralise les parties <a href="Ouvert_(topologie)" title="Ouvert (topologie)">ouvertes</a>, <a href="Ferm%C3%A9_(topologie)" title="Fermé (topologie)">fermées</a> et même <a href="Localement_ferm%C3%A9" class="mw-redirect" title="Localement fermé">localement fermées</a>. Les <b>ensembles constructibles</b> ont été introduits par <a href="Claude_Chevalley" title="Claude Chevalley">Claude Chevalley</a>, et présentent l'avantage d'être d'une manipulation plus souple. Par exemple l'image d'un constructible par un morphisme de présentation finie est constructible, alors ce n'est pas vrai pour les parties ouvertes ou fermées. Mais surtout, sous des hypothèses assez générales, si <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \scriptstyle f:X\to Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle f:X\to Y}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/527f3b4709b950d08f5b275907e9981ea4737161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.659ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \scriptstyle f:X\to Y}" loading="lazy"></span> est un <a href="Morphisme" title="Morphisme">morphisme</a> de <a href="Sch%C3%A9ma_(g%C3%A9om%C3%A9trie_alg%C3%A9brique)" title="Schéma (géométrie algébrique)">schémas</a>, l'ensemble des points de <i>X</i> ou de <i>Y</i> vérifiant certains types de propriétés est un ensemble constructible (sans être ni ouvert ni fermé en général).

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Définition"><span id="D.C3.A9finition"></span>Définition</h2></div>

<p>Soit <i>X</i> un espace topologique. L'ensemble des <i>parties constructibles<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> de X</i> est le plus petit ensemble de parties de <i>X</i> contenant les ouverts rétrocompacts (c'est-à-dire dont l'intersection avec tout ouvert <a href="Quasi-compacit%C3%A9" class="mw-redirect" title="Quasi-compacité">quasi-compact</a> de <i>X</i> est quasi-compact), stable par intersection finie et par passage au complémentaire.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Caractérisation"><span id="Caract.C3.A9risation"></span>Caractérisation</h2></div>

<p>Un espace topologique <i>X</i> est dit <a href="Espace_noeth%C3%A9rien" title="Espace noethérien">noethérien</a> si toute suite décroissante de parties fermées de <i>X</i> est stationnaire. L'espace topologique sous-jacent à un <a href="Sch%C3%A9ma_noeth%C3%A9rien" title="Schéma noethérien">schéma noethérien</a> est noethérien. Dans un espace noethérien, toute partie de <i>X</i> est rétrocompacte. Ainsi toute partie localement fermée est constructible.

</p><p><i>On se restreint dans la suite aux espaces noethériens.</i>

</p>

<p><strong class="theoreme-nom">Proposition</strong><span class="theoreme-tiret"> — </span>Dans un espace noethérien, une partie est constructible si et seulement si c'est une réunion finie de parties <a href="Localement_ferm%C3%A9" class="mw-redirect" title="Localement fermé">localement fermées</a>.

</p>

</div>

<p>En effet, l'ensemble des parties localement fermées est stable par intersection finie, et le complémentaire d'une partie localement fermée s'écrit comme réunion (disjointe) d'un ouvert et d'un fermé. Donc leurs réunions finies forment un ensemble stable par intersection finie et par passage au complémentaire. Et c'est visiblement le plus petit possible.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Propriétés"><span id="Propri.C3.A9t.C3.A9s"></span>Propriétés</h2></div>

<ul><li>Il est facile de voir que tout ensemble constructible est une réunion finie <i>disjointe</i> de parties localement fermées (en effet, la réunion de deux localement fermés est aussi la réunion disjointe d'un localement fermé, et de l'intersection d'un localement fermé avec le complémentaire d'un localement fermé, or le complémentaire d'un localement fermé est la réunion disjointe d'un ouvert et d'un fermé).</li>

<li>Si <i>E</i> est constructible, alors il contient un ouvert dense <i>U</i> de son adhérence <span style="text-decoration: overline;"><i>E</i></span>. Alors <i>E</i> est la réunion disjointe de <i>U</i> (qui est localement fermé dans <i>X</i>) et de <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E':=E\cap ({\overline {E}}\setminus U)}">

<msup>

</msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E':=E\cap ({\overline {E}}\setminus U)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c52a68d95201eeec89cf0134be663184fd437b9c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.299ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle E':=E\cap ({\overline {E}}\setminus U)}" loading="lazy"></span> qui est localement fermé d'intérieur vide dans <span style="text-decoration: overline;"><i>E</i></span>. On peut recommencer ainsi avec <i>E'</i>. Par noethérianité, le procédé s'arrête au bout d'un nombre fini de pas, ainsi <i>E</i> est une réunion finie disjointe de parties localement fermées de plus en plus <i>petites</i>.</li>

<li>Un sous-ensemble constructible d'une partie fermée ou ouverte de <i>X</i> est constructible dans <i>X</i>.</li>

<li>Être constructible est une <a href="Propri%C3%A9t%C3%A9_locale" title="Propriété locale">propriété locale</a> : dans un espace topologique noethérien, une partie <i>E</i> est constructible si et seulement si tout point de <i>E</i> possède un voisinage ouvert dans <i>X</i> dans lequel <i>E</i> est constructible.</li>

<li>Les ensembles constructibles sont stables par image réciproque d'une application continue (entre espaces topologiques noethériens).</li>

<li>Si l'adhérence d'un singleton {<i>x</i>} rencontre une partie constructible <i>E</i>, alors <i>x</i> appartient à <i>E</i>.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Exemple">Exemple</h2></div>

<p>Dans le plan affine <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathbb {A} }_{k}^{2}}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathbb {A} }_{k}^{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7aadf12684411443814a59b2d80182103a9cd2aa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.767ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathbb {A} }_{k}^{2}}" loading="lazy"></span> sur un corps <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"></span>, la réunion de l'origine (0, 0) avec le complémentaire de la droite <i>y</i> = 0 est une partie constructible. Elle n'est pas localement fermée, mais c'est la réunion d'un fermé (l'origine) avec un ouvert (le plan moins la droite). C'est l'image du morphisme de schémas <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathbb {A} }_{k}^{2}\to {\mathbb {A} }_{k}^{2}}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathbb {A} }_{k}^{2}\to {\mathbb {A} }_{k}^{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/460651eeabbaada1df24299e863ffc4376a6fb2e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.148ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathbb {A} }_{k}^{2}\to {\mathbb {A} }_{k}^{2}}" loading="lazy"></span> qui sur les points est défini par <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,y)\mapsto (xy,y)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,y)\mapsto (xy,y)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ebedc404f09cd70457cda819c748bdf51b23f7f3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.426ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,y)\mapsto (xy,y)}" loading="lazy"></span>. Cet exemple montre que l'image d'une variété algébrique par un morphisme n'est en général ni fermée ni ouverte.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Références"><span id="R.C3.A9f.C3.A9rences"></span>Références</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a> </span><span class="reference-text">Dans la seconde édition d'<a href="%C3%89l%C3%A9ments_de_g%C3%A9om%C3%A9trie_alg%C3%A9brique" title="Éléments de géométrie algébrique">EGA</a> I, un tel ensemble est dit <i>globalement constructible</i>.</span>

</li>

</ol></div>

</div>

<p><a href="Alexandre_Grothendieck" title="Alexandre Grothendieck">A. Grothendieck</a> et <a href="Jean_Dieudonn%C3%A9" title="Jean Dieudonné">J. Dieudonné</a>, <i><a href="%C3%89l%C3%A9ments_de_g%C3%A9om%C3%A9trie_alg%C3%A9brique" title="Éléments de géométrie algébrique">Éléments de géométrie algébrique</a></i>, chap. 0, §9 et chap. IV, § 1.8.

</p>

<ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><span class="noviewer" typeof="mw:File"></span></span> <span class="bandeau-portail-texte">Portail des mathématiques</span> </span></li> </ul></div><div><div class="zim-footer">

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